非歐幾何——雙曲面

非歐幾何——雙曲面

目的

認識不同於一般視覺或一般認知的歐氏(幾何)空間

 

實驗

實驗裝置:雙曲面模型、黃色細繩(黑色之對比色)、量角器三個。

我們都知道三角形內角和為,然在本實驗中用繩子在曲面模型上圍出一個三角型,並量測這個三角型的內角和,可觀察出本實驗與歐氏幾何的差異。

 

 

原理思考

為何曲面上的三角形的內角和不是呢?

 

在歐氏幾何中,三角形內角和為。然數學上的空間並非只有一種,每種空間都有不一樣的性質,一般我們熟知的空間為歐氏幾何。 並非所有的空間都和歐氏幾何的公設一樣。例如在歐氏空間上的三角形角度和為,但實驗中雙曲面上的三角形之角度,經量測後發現角度和明顯小於。 此種現象亦可延伸思考其他的幾何學,例如計程車幾何就是其一(又稱曼哈頓距離),假設計程車在一個規則的城市中行駛(方格),他只能水平和鉛直移動。
Manhattan distance 220x215
若要從A點走到B點,以一般的思維,就是將A和B直接穿過格子連起來。但在計程車幾何上,就只能走垂直或水平的路徑上,也就是說AB線段可以是鋸齒狀,也可以是兩條垂直線段,且此兩條直線長度都一樣。

 

問題討論

以本實驗為例,在歐氏空間中,若角度不變但邊長變長,三角形的面積會增持續加;同樣的情況,在曲面空間中,三角形的面積會增加?減少?不變?其角度和會增加?減少?不變?

 

在歐氏空間上的三角形,角度不變的情況下,隨著長度的增加,面積可趨近於無窮大;但在雙曲面上,面積幾乎沒有改變,但角度和卻一直減少並趨近於0。

 

參考資料

“Lobachevskian Geometry”, 1829, Russia. Nikolai Ivanovich Lobachevsky

 “The Science of Absolute Space”, 1832, Hungary. János Bolyai

維基百科(http://zh.wikipedia.org/zh-tw/曼哈頓距) 

 

製作

v.1 詹翔豪

 

指導老師

易台生、朱慶琪

 

撰稿

詹翔豪